تحليل و معالجة قواعد البيانات

قياسات النزعة المركزية

بالإمكان التعرف للمعطيات بسهولة أكبر عندما تكون مجدولة ومنظمة بشكل جيد ضمن توزع تواتري، ويتم بعد ذلك إظهارها بيانياً. والطريقة الأسهل والأكثر شيوعاً لمعرفة كيفية تصور المعطيات تتم بإعطاء قيمتها المتوسطة، او المعدل. هناك ثلاثة قيم متوسطة تستخدم في الإحصائيات:

·         المتوسط الحسابي؛

·         المنصف؛

·         القيمة السائدة.

تعرف هذه القيم إجمالاً بقياسات النزعة المركزية. وهي قياسات منتصف أو مركز التوزع. على أن المتوسط هو أكثر قياسات النزعة المركزية انتشاراً.

المتوسط الحسابي

إن المتوسط الحسابي هو ما يعنيه اغلب الأشخاص جين الإشارة للمعدل أو المتوسط. هذا، ويستخدم الحرف اليوناني "ميو" m لتمثيل المتوسط عند الكتابة بلغة المصطلحات الرياضية. فالمتوسط هو مجموع كافة القيم مقسوماً على عدد هذه القيم.

تكتب معادلة المتوسط باستخدام رمز المجموع "سيغما"، وهو حرف يوناني أيضاً.

إن المتوسط هو قياس جيد للنزعة المركزية في التوزعات المتناظرة بشكل كبير، إلا أنه قد يؤدي إلى تشويه التوزعات المائلة أو المنحرفة، حيث أن هذه التوزعات قد تتأثر بالقيم الحدية (أو الشاذة). لذا, تقدم المعادلات الإحصائية الأخرى، كالمنصف، معلومات أفضل عن التوزعات، مثل الزمن، أو الدخل العائلي التي غالباً ما تكون منحرفة جداً.

إن المتوسط هو أكثر القياسات فعالية في التوزعات الطبيعية، والأقل عرضة لتقلبات العينات بين كافة قياسات النزعة المركزية.

المنصف

إن الميزة الأساسية للمتوسط الحسابي (وخصوصاً ضمن مجموعة صغيرة من الأعداد) هي أنه يأخذ القيم الحدية بعين الاعتبار. وحين يكون هناك قيم حدية في التوزع، فإن المنصف هو أكثر القياسات تمثيلاً للمعطيات. دعونا نوضح هذه الفكرة بمثال.

خذوا العبارة التالية: "الأجر الوسطي لتسعة موظفين في شركة صغيرة هو: 41.89 دولار يومياً".

إن الأجور الفعلية (بالدولار) هي: 28، 29، 32، 35، 35، 36، 38، 41، 103، حيث الأجر الأخير إلى أجر المدير. لذا، فإن متوسط هذه الأجور هو 41.89 دولار. لاحظوا أن قيمة /8/ من أصل /9/ أجور هي أقل من المتوسط. لذا، يشكل الأجر المنصف (35 دولار) لمجموعة الأجور قيمة أفضل في تمثيل التوزع، وتدعى هذه القيمة الوسطى باسم المنصف.

منصف توزعات التواتر المجمع 

حين التعامل مع التوزعات المستمرة (أو المتقطعة المجمعة), يمكننا فقط تقدير قيمة المنصف. وإذا كانت المعطيات مجمعة في فواصل صفوف، فمن الممكن تحديد الصف الذي ينتمي إليه المنصف بالنظر إلى التوزع.

 لتحديد منصف توزع تواتري مجمع بدقة أكبر، يتوجب عليكم رسم منحني التواتر التراكمي. يكون المنصف في هذه الحالة قيمة المتحول الموافق لنصف مجموع التواترات الكلي. وإذا تم رسم المضلع المنحرف النسبي، فإن المنصف هو قيمة المتحول الموافق لخمسين بالمئة (50%) من مجموع التواترات الكلي، وهو بذلك يقسم المنحني على قسمين متساويين.

 عند رسم المضلع المنحرف يجب أن تجمع نقاط حدود الصف العليا بوساطة منحني ناعم، وليس بوساطة خطوط مستقيمة (كما في الشكل) لضمان دقة أكبر من تلك التي توفرها طريقة الاستيفاء.

القيمة السائدة

تشير القيمة السائدة في مجموعة من القيم إلى القيمة التي تقع مع التواتر الأعظمي. فمثلاً, القيمة السائدة للمجموعة: 2، 3، 3، 4، 4، 4، 5، 6، 6، 7 هي /4/ لأنها تتكرر ثلاث مرات، وبالتالي تتواتر أكثر من أي قيمة أخرى.

 قد لا تتواجد في بعض الأحيان, في مجموعة من الأعداد, قيمة سائدة, فمثلاً، لا توجد قيمة سائدة في المجموعة: 2, 4, 7, 8, 9, 11، حيث يتكرر كل رقم مرة واحدة فقط. من الممكن أن يكون هناك أكثر من قيمة سائدة واحدة. فمثلاً، هناك قيمتين سائدتين لمجموعة الأرقام التالية: 2، 3، 3، 3، 4، 4، 5، 6، 6، 6، 7، 8، وهاتين القيمتين السائدتين هما: /3/ و /6/، لأن كل قيمة منهما تتكرر ثلاث مرات. تدعى مجموعة القيم التي لها قيمتين سائدتين بثنائية القيم السائدة. وإذا كان للمجموعة قيمة سائدة واحدة فقط فتدعى أحادية القيمة السائدة. أما إذا كان للمجموعة أكثر من قيمتين سائدتين فتدعى متعدد القيم السائدة.

القيمة السائدة في توزع تواتري 

إن القيمة السائدة في توزع تواتري هي قيمة المتحول الموافق للنقطة العظمى على منحني التواتر( المرسوم بنعومة). يمكن حساب القيمة السائدة أيضاً من المخطط البياني النسيجي كما هو موضح في الشكل التالي. لاحظوا أن الصف السائد هو الصف الذي يحوي القيمة السائدة.

المعدل الذي يتوجب استخدامه

يعتمد المعدل المراد استخدامه على ظروف محددة.

 إن المتوسط الحسابي هو أكثر القيم المتوسطة شيوعاً، ويستخدم بشكل واسع في المجالات التجارية، والأعمال الإحصائية. هذا، ومن السهل استيعاب المتوسط الحسابي، إلا أنه قد يؤدي إلى استنتاجات خاطئة, كما هو الأمر في حالة المعطيات الحدية.

 ولا يتأثر المنصف بالقيم الحدية، ويعطي إشارة أفضل عن الموضع المركزي إذا ما كان هناك قيم حدية. فللتوزعات المائلة جداً أو بالغة الذروة، يكون المنصف غالباً أفضل القيم المتوسطة الممكن استخدامها.

 تستخدم القيمة السائدة عندما يطلب إيجاد القيم الأكثر ظهوراً أو تواتراً.

العلاقة بين المتوسط, المنصف و القيمة السائدة

 عندما يكون التوزع متناظر يكون للمنصف, والمتوسط والقيمة السائدة نفس القيمة.

 عندما يكون التوزع مائلاً فإن كل من المتوسط, والمنصف، والصيعة تأخذ قيماً مختلفة.